丸括弧を使った表記: \((\mathbf{a}, \mathbf{b})\) これは通常、内積を暗示しますが、文脈によっては座標や点を表すこともあります。

角括弧を使った表記: \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle\) これは内積を表すための典型的な記号です。

転置記号を使った表記: \(\mathbf{a}^\top \mathbf{b}\) ベクトル \(\mathbf{a}\) の転置行列と \(\mathbf{b}\) の行列積として内積を表します。

矢印と角括弧を使った表記: \(\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle\) 矢印を使ってベクトルを表し、角括弧で内積を示します。

矢印と丸括弧を使った表記: \((\vec{a}, \vec{b})\) 矢印を使ってベクトルを表し、丸括弧で内積を示します。

矢印とドットを使った表記: \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 矢印を使ってベクトルを表し、ドット記号で内積を示します。

内積（dot product または scalar product）は、二つのベクトル間の関係を数値として表す操作です。内積は以下のように定義されます。

二つのベクトル \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)\) と \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)\) の内積は、次の式で表されます：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \]

内積の別の定義は、二つのベクトルの大きさとその間の角度 \(\theta\) に基づいています：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta) \]

ここで、\(\|\mathbf{a}\|\) と \(\|\mathbf{b}\|\) はそれぞれベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) の大きさ（ノルム・長さ）を表します。

内積の性質として、以下が挙げられます：

• 交換法則: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)
• 分配法則: \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)
• 結合法則: \((k \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\) （スカラー \(k\) に対して）

単位ベクトルは長さが1のベクトルで、通常はベクトルの方向のみを示します。単位ベクトルは次のように表されます：

\(\mathbf{\hat{a}}\)

ここで、\(\mathbf{\hat{a}}\) はベクトル \(\mathbf{a}\) をその大きさで割ったものです。つまり：

\[ \mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} \]

単位ベクトルの性質として、以下が挙げられます：

• ベクトルの方向を保持しつつ、長さが1に標準化されています。
• 任意のベクトルは、その単位ベクトルにスカラーを掛けた形で表すことができます。

また、座標軸に沿った単位ベクトル（標準基底ベクトル）は特に重要であり、次のように表されます：

\(\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}\)

これらはそれぞれ x軸、y軸、z軸に沿った単位ベクトルを表します。